https://www.acmicpc.net/problem/14848
요즘 빠져있는 포함 배제 원리 문제입니다.
문제에 나와있는 게임의 규칙은
1. 정수 N과 크기가 K인 배열 A를 정한다.
2. 1 ~ N의 정수를 모두 종이에 적는다.
3. 배열 A의 정수를 하나씩 골라서 제거하고, 그 수의 배수를 종이에서 지운다.
4. 배열 A의 정수가 모두 제거될 때까지 3을 반복한다.
위 내용을 정리하면
1 ~ N의 정수 중에 배열 A의 정수들의 배수가 아닌 수의 갯수를 구해라.
라는 문제가 됩니다.
그러면 처음 생각해볼 수 있는건 배열 A의 정수를 하나씩 빼서 N / A[i]를 구하면 그게 A[i]의 배수의 갯수라고 볼 수 있습니다.
즉 N = 15, A = {3, 5}이면
3의 배수는 15/3 =5개, 5의 배수는 15/5 = 3개 이렇게 쉽게 구할 수 있습니다.
하지만 여기서 문제는 3의 배수와 5의 배수 모두 15가 포함된다는 것입니다.
그래서 이런 중복되는 것들을 추가로 더해줘야하는 작업이 필요합니다.
위 벤 다이어그램을 참고했을 때 A가 3의 배수, B가 5의 배수, A ∩ B가 15의 배수에 해당됩니다.
A ∪ B = A + B - A ∩ B가 되고, 이걸 이용하여 포함 배제 원리 문제에 접근할 수 있습니다.
여기서 수식만 봐도 겹치는 부분이 1개 (홀수)인 부분은 덧셈, 2개 (짝수)인 부분은 뺄셈 연산을 한다는 것을 알 수 있습니다.
그러면 정수들을 적절하게 조합해서 나온 수들의 최소공배수가 교집합 부분이라는 것을 알 수 있고, 최소공배수로 구할 수 있습니다.
그냥 곱하면 안되는 이유로 4, 6을 들 수 있습니다.
4 * 6 = 24인데 12도 4의 배수와 6의 배수 둘다 포함됩니다.
배열의 갯수는 K <= 15 입니다.
따라서 비트마스킹 사용이 가능합니다.
1부터 비트 하나씩 조합을 확인할 수 있고, 포함된 수의 갯수와 최소공배수를 바로 구할 수 있습니다.
다음은 곱해진 수를 전체 범위에서 나누기만 하면 답을 구할 수 있습니다.
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#include <iostream>
#define MAX 15
using namespace std;
typedef long long ll;
ll list[MAX];
ll N;
int K;
ll gcd(ll x, ll y) {
return y ? gcd(y, x % y) : x;
}
ll lcm(ll x, ll y) {
return x * y / gcd(x, y);
}
void func() {
ll ret = 0;
for (int i = 1; i < (1 << K); i++) {
int cnt = 0;
ll tmp = 1LL;
bool flag = false;
for (int j = 0; j < K; j++) {
if (!(i & (1 << j))) continue;
cnt++;
tmp = lcm(tmp, list[j]);
if (tmp > N) {
flag = true;
break;
}
}
if (flag) continue;
if (cnt & 1) ret += (N / tmp);
else ret -= (N / tmp);
}
cout << N - ret << '\n';
}
void input() {
cin >> N >> K;
for (int i = 0; i < K; i++) {
cin >> list[i];
}
}
int main() {
cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);
ios::sync_with_stdio(false);
input();
func();
return 0;
}
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